Question

用罗尔定理证明高阶导函数零点的存在性与个数统计。图片中评注里的①②没理解什么意思，可以举个例子吗？

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Answer 1

　　您好！举个例子，函数f(x)有在区间[a，b]连续，而且有4个零点，从左到右依次标为A、B、C、D，那么A和B之间运用一次罗尔定理得到f(x)的一阶导数在A和B之间有一个零点，以此类推，B和C之间，C和D之间都有f(x)的一阶导数的零点。
　　记f(x)的一阶导数的三个零点从左到右依次为E、F、G，这样可在两个区间，E和F、F和G之间运用罗尔定理，可知f(x)的二阶导数有两个零点。然后继续这个过程，可知f(x)的三阶导数有一个零点。
　　这时，您应该看出规律了。如果某一阶导数有n个零点，那么它的高一阶导数就有n-1个零点。这就是您这张图片里（1）（2）两条规律的直观解释。明白了吗？