非齐次线性方程有几个线性无关的解向量?n-r+1个。为什么?这个是基础知识吗?齐次的有类似结论吗?
非齐次线性方程有几个线性无关的解向量?n-r+1个。为什么?这个是基础知识吗?齐次的有类似结论吗?谢谢...
非齐次线性方程有几个线性无关的解向量?n-r+1个。为什么?这个是基础知识吗?齐次的有类似结论吗?谢谢
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齐次的是n-r非齐次的以有三个线性无关的解向量η1,η2,η3为例:
则有η1-η2,η2-η3,η3-η1线性相关(相加等于零),而任意两个线性无关,所以是n-r+1=3,更多元的同理。齐次线性方程组表达式 :Ax=0;非齐次方程组程度常数项不全为零: Ax=b。
扩展资料:
齐次线性方程组求解步骤:
1、对系数矩阵A进行初等行变换,将其化为行阶梯形矩阵;
2、若r(A)=r=n(未知量的个数),则原方程组仅有零解,即x=0,求解结束;
若r(A)=r<n(未知量的个数),则原方程组有非零解,进行以下步骤:
3、继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵,并写出同解方程组。
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这需要两个结论:
设x0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,证明
1.x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
2.AX=b的任意解X可表示成:
X=k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
证明:(1) 显然 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 都是AX=b的解.
设 k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)=0
则 (k0+k1+...+kn-r)x0+k1a1+...+kn-ran-r=0 (*)
等式两边左乘A,因为 Ax0=b,Aai=0
所以有 (k0+k1+...+kn-r)b=0.
因为b是非零向量,所以 k0+k1+...+kn-r=0
所以 (*) 式化为 k1a1+...+kn-ran-r=0.
又因为 α1,α2,...,αn-r 线性无关
所以 k1=k2=...=kn-r=0
进而有 k0=0
所以 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 线性无关
故 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
(2) 由线性方程组解的结构知,Ax=b的任一解可表示为
x0+k1α1+k2α2+...+kn-rαn-r
= (1-k1-k2-...-kn-r)x0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
令 k0=1-k1-k2-...-kn-r
则 Ax=b的任一解可表示为 X=k0X0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
其中 k0+k1+...+kn-r=1.
设x0是非齐次线性方程组Ax=b的一个解,α1,α2,...,αn-r是对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系,证明
1.x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
2.AX=b的任意解X可表示成:
X=k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
证明:(1) 显然 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 都是AX=b的解.
设 k0X0+k1(X0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)=0
则 (k0+k1+...+kn-r)x0+k1a1+...+kn-ran-r=0 (*)
等式两边左乘A,因为 Ax0=b,Aai=0
所以有 (k0+k1+...+kn-r)b=0.
因为b是非零向量,所以 k0+k1+...+kn-r=0
所以 (*) 式化为 k1a1+...+kn-ran-r=0.
又因为 α1,α2,...,αn-r 线性无关
所以 k1=k2=...=kn-r=0
进而有 k0=0
所以 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 线性无关
故 x0,x0+a1,x0+a2...x0+an-r 是方程组AX=b的n-r+1个线性无关的解向量
(2) 由线性方程组解的结构知,Ax=b的任一解可表示为
x0+k1α1+k2α2+...+kn-rαn-r
= (1-k1-k2-...-kn-r)x0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
令 k0=1-k1-k2-...-kn-r
则 Ax=b的任一解可表示为 X=k0X0+k1(x0+a1)+k2(x0+a2)+...+kn-r(x0+an-r)
其中 k0+k1+...+kn-r=1.
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这个是作为基础知识存在还是属于推论?计算题可以直接用吗?
齐次有类似的结论吗?谢谢
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可以这样想,当r(A)=r(A|b)=n的时候,显然方程组有解,这个解就是非齐次方程的特解η。那么好了,当r(A)=r(A|b)比n小的时候,就要加上其次方程的通解ξ。显然ξ无法表示出η,他们线性无关。
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