Question

高等数学判别下列级数的敛散性.求教高人

判别下列级数的敛散性
∑（∞ n=2） (-1)^n • 1/（n-ln n）
请问如何解答这个题目。拜托大家能给个步骤。或者分析分析
在下在解这题目的时候还有有一个疑问，还往兄台能够帮忙
请问lim(n→∞) ln (e^n)/n 和 ln lim(n→∞) (e^n)/n 是不是能够相等。 谢谢了

Answer 1

一楼思路正确。
再提示一下：本题用莱布尼兹定理判别时，只需证明正项级数a(n)=1/（n-ln n）单调减少且收敛于0。在证明其单调性时可以考虑f(x)=1/（x-ln x）,因为f'(x)=-(x-1)/[x（x-ln x）^2],当x>1时f'(x)<0，故x>1时，f(x)单调减少，从而f(n)>f(n+1)，即a(n)>a(n+1).又利用当x—>∞时,1/x是1/lnx的高阶无穷小的事实，可得当n—>∞时，lim1/（n-ln n）=lim1/[n(1-ln n/n)]=0.根据莱布尼兹定理原级数收敛。
第二个问题：对f(g(x))仅当limg(x)=A存在，且f(x)在x=A处连续才有limf(g(x))=f(limg(x)).本题由于n—>∞时lim(e^n)/n=∞（属于极限不存在）故两个极限不能相等。同样n—>∞时limln n/(e^n) 也不能等于ln limn/(e^n)/n，是因为limn/(e^n)/n=0，而lnx在x=0处没有定义。

Answer 2

这个是交错级数，可有莱布尼兹解，
lim(n→∞) ln (e^n)/n=∞的，所以倒过来就是趋向于0
上面两个不相等