Question

被积函数为分段函数,积分上限函数一定连续吗

被积函数为分段函数,积分上限函数一定连续吗

Answer 1

如果被积的分段函数，分段点是可去间断点或跳跃间断点的话，那么变上限定积分函数将是连续的。但是这个变上限定积分函数在被积函数分段点处的左右导数将不相等，即在被积函数分段点处不可导。

例如f（x）=-1（x≤0）；1（x＞0）这个分段函数。

其变上限定积分函数∫（0-x）f（t）dt就等于|x|这个函数。

而|x|在f（x）的分段点x=0处是连续但不可导的。

对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

扩展资料：

判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0，-x<0，分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。

当x≥0时，f(x)=-x2+4x-10 ,它是开口向下，对称轴为x=2的抛物线的一部分，因此f(x)在区间[0，2]上是增加的，在区间(2，+∞)上是减少的；当x<0时，f(x)=-x2-4x-10 ，它是开口向下，对称轴为x=-2的抛物线的一部分，因此f(x)在区间[-2，0）上是减少的，在区间(-∞,-2)上是增加的。

分段函数的单调性的判断方法：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即可。

参考资料来源：百度百科--分段函数

Answer 2

如果被积的分段函数，分段点是可去间断点或跳跃间断点的话，那么变上限定积分函数将是连续的。但是这个变上限定积分函数在被积函数分段点处的左右导数将不相等，即在被积函数分段点处不可导。
例如f（x）=-1（x≤0）；1（x＞0）这个分段函数
其变上限定积分函数∫（0-x）f（t）dt就等于|x|这个函数
而|x|在f（x）的分段点x=0处是连续但不可导的。