Question

如图,在RT三角形ABC中,角ACB=90度,AC=6,BC=2,点D是AB中点,点p是线段AC上

如图,在RT三角形ABC中,角ACB=90度,AC=6,BC=2,点D是AB中点,点p是线段AC上动点,

Answer 1

（1）t=1或；（2）；（3）证明见解析.试题分析：（1）分两种情况讨论：①当△BPQ∽△BAC时，，当△BPQ∽△BCA时，，再根据BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，代入计算即可.（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，根据△ACQ∽△CMP，得出，代入计算即可.（3）过P作PD⊥AC于点D，连接DQ，BD，BD交PQ于点M，过点M作EF∥AC分别交BC，BA于E，F两点，证明四边形PDQB是平行四边形，则点M是PQ和BD的中点，进而由得到点E为BC的中点，由得到点F为BA的中点，因此，PQ中点在△ABC的中位线上.试题解析：（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP=5t，QC=4t，AB=10cm，BC=8cm，∴，解得t=1；②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，解得.∴t=1或时，△BPQ与△ABC相似.（2）如答图，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB=5t，PM=3t，MC=8-4t，∵∠NAC+∠NCA=90°，∠PCM+∠NCA=90°，∴∠NAC=∠PCM且∠ACQ=∠PMC=90°，∴△ACQ∽△CMP.∴.∴，解得：.（3）如答图，过P作PD⊥AC于点D，连接DQ，BD，BD交PQ于点M，则，∵，∴PD=BQ且PD∥BQ.∴四边形PDQB是平行四边形.∴点M是PQ和BD的中点.过点M作EF∥AC分别交BC，BA于E，F两点，则，即点E为BC的中点.同理，点F为BA的中点.∴PQ中点在△ABC的中位线上.