Question

已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接M

已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，BE⊥AC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED．
（1）求证：△MED为等腰三角形；
（2）求证：∠EMD=2∠DAC．

Answer 1

证明：

（1）

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠ADB=∠AEB=90°，

∵M是AB的中点，

∴DM=1/2AB，EM=1/2AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），

∴DM=EM，

∴△MED是等腰三角形。

（2）

∵MD=1/2AB=MB，

∴∠MBD=∠MDB，

∴∠BMD=180°-∠MBD-∠MDB=180°-2∠MBD，

∵ME=1/2AB=MA，

∴∠MAE=∠MEA，

∴∠AME=180°-∠MAE-∠AEA=180°-2∠MAE，

∴∠BMD+∠AME=360°-2（∠MBD+∠MAE）

∵∠MBD+∠MAE=180°-∠C

∴BMD+∠AME=360°-2（180°-∠C）=2∠C

∴∠EMD=180°-（∠BMD+∠AME）=180°-2∠C=2（90°-∠C），

∵∠DAC=90°-∠C，

∴EMD=2∠DAC。