Question

高中数学，求函数的最值，请问一下图中这个式子如何求最值？

Answer 1

此类问题，引入三角函数，比较容易解决。

解：
令x=cos²t，由已知0<x<1设0<t<π/2
则1-t=1-cos²t=sin²t
f(x)=a²/x+ b²/(1-x)
=a²/cos²t +b²/sin²t
a>0，b>0，cos²t>0，sin²t>0
由均值不等式得：
a²/cos²t +b²/sin²t
≥2√[(a²/cos²t)(b²/sin²t)]
=2ab/(sintcost)
=4ab/(2sintcost)
=4ab/sin(2t)
0<t<π/2，0<2t<π
0<sin(2t)≤1，1/sin(2t)≥1，当且仅当t=π/4时取等号，此时x=½
4ab/sin(2t)≥4ab
t→0+时，4ab/sin(2t)→+∞
综上，得：
当x=½时，a²/x+ b²/(1-x)取得最小值4ab，函数没有最大值。

Answer 2

用1-x+x乘以fx，再利用均值不等式，有个最小值。应该没最大值，因为在0和1处极限为正穷大。