Question

求三道高数的三重积分题答案

1.∫∫∫z^2dV,积分区域是x^2+y^2+z^2≤R^2,x^2+y^2≤Rx
2.∫∫∫(x^2+y^2)dV,积分区域由z=√R^2-x^2-y^2 ,与z=√x^2+y^2组成.
3.∫∫∫ dV/√x^2+y^2+(z-2)^2,积分区域是x^2+y^2+z^2≤1(提示:用球坐标,先对ψ求积.)

高手能将思路和详细过程告诉我么?感激不尽~高数不好,如果是详细简明的答案我会再加分的,谢谢各位~!
谢谢看进来的各位~补充下(我只有结果,不会过程...)第一题答案是2/15R^2(π-16/15),
第二题2/5πR^2(2/3-5√2/12)
第三题2π/3
谢谢KEN-3000,可能还有一部分,我也回去再看看~!

Answer 1

看下图

Answer 2

1.
用柱坐标做：x=rcosθ,y=rsinθ,z=z,dv=rdrdθdz,
∫∫∫z^2dV=
∫[-π/2,π/2]dθ∫[0,Rcosθ]rdr∫[-√(R^2-r^2),√(R^2-r^2)]z^2dz
=∫[-π/2,π/2]dθ∫[0,Rcosθ]rdr(2/3)*(R^2-r^2)^(3/2)
=∫[-π/2,π/2]dθ(2/15)*R^5*(1-(sinθ)^5)
=2πR^5/15.
我就会第一道