Question

这个过程怎么算的？

Answer 1

令y=x+1/2,a=1/2,则根号里边的式子变为：y^2-a^2，且dx=dy
令y=asect , 则dy=asecttantdt，分母变为：atant，整理后为对asect积分，积分后为：1/4(ln|tant+sect|+C1)，将a=1/2，t=arcsec(y/a)=arcsec((x+1/2)/a)带回去，最终结果为：
14ln(x+1/2(√(x^2+x)))+C

追问

不太懂

带回去怎么的出的啊

我得出的是
1/4ln((x+3/2)/2(√(x^2+x)))+C

追答

你有学过数学分析吗，对于这一类的积分是有公式的，
∫√(a^2-x^2)dx=1/2x√(a^2-x^2)+a^2/2arcsin(x/a)+C
∫1/(√(a^2+x^2)dx=ln(x+√(a^2+x^2))+C
∫1/(√(x^2-a^2)dx=ln|x+√(x^2-a^2)|+C

Answer 2

设x+1/2=sect/2，dx=(secttant)dt/2，所以
∫dx/根号[(x+1/2)^2-1/4]=∫(secttant)/2]dt/根号[(sect/2)^2-1/4]=∫sectdt=ln(sect+tant)+C=ln[x+1/2+根号(x^2+x)]

追问

最后一部怎么得出的啊

追答

因为x+1/2=sect/2，sect=1/cost=2x+1，cost=1/(2x+1)，tant=根号[1-1/(2x+1)^2]/[1/(2x+1)^2]=根号(4x^2+4x)，所以ln(sect+tant)+C=ln[2x+1+根号(4x^2+4x)]+C

因为x+1/2=sect/2，sect=1/cost=2x+1，cost=1/(2x+1)，tant=根号[1-1/(2x+1)^2]/[1/(2x+1)^2]=根号(4x^2+4x)，
所以ln(sect+tant)+C=ln[2x+1+根号(4x^2+4x)]+C
=ln2[x+1/2+根号(x^2+x)]+C
=ln2+ln[x+1/2+根号(x^2+x)]+C
=ln[x+1/2+根号(x^2+x)]+C

追问

这个和你第一次给我的结果不一样啊

追答

ln[x+1/2+根号(x^2+x)]+C，(lnC*因式)的导数=(ln因式)的导数

追问

谢谢

你看到ln[2x+1+根号(4x^2+4x)]+C这个因式还有加1了吗，这样ln[x+1/2+根号(x^2+x)]+C，也等于ln[2x+1+根号(4x^2+4x)]+C吗？ln[x+1/2+根号(x^2+x)]+C，符合(lnC*因式)的导数=(ln因式)的导数吗？

请问这个怎么做啊