x²-xy+y²=1求x²+xy+y²的最大值最小值 10
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x²-xy+y²=1，则设
z=x²+xy+y²
=(x²+xy+y²)/(x²-xy+1)
=[(x/y)²+(ⅹ/y)+1]/[(ⅹ/y)²-(x/y)+1].
同时设x/y=t，代入上式得
z=(t²+t+1)/(t²-t+1)
即(1-z)t²+(1+z)t+1-z=0.
上式判别式不小于0，故
△=(1+z)²-4(1-z)²≥0，
解得，1/3≤z≤3.
故所求最大值为3，
此时代回得
x=y=1，或x=y=-1;
所求最小值为1/3，
此时代回得，
x=√3/3，y=-√3/3
或x=-√3/3，y=√3/3。
z=x²+xy+y²
=(x²+xy+y²)/(x²-xy+1)
=[(x/y)²+(ⅹ/y)+1]/[(ⅹ/y)²-(x/y)+1].
同时设x/y=t，代入上式得
z=(t²+t+1)/(t²-t+1)
即(1-z)t²+(1+z)t+1-z=0.
上式判别式不小于0，故
△=(1+z)²-4(1-z)²≥0，
解得，1/3≤z≤3.
故所求最大值为3，
此时代回得
x=y=1，或x=y=-1;
所求最小值为1/3，
此时代回得，
x=√3/3，y=-√3/3
或x=-√3/3，y=√3/3。
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最小值为3
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