Question

二项式定理怎么证明？

Answer 1

n个（a+b）相乘，是从（a+b）中取一个字母a或b的积。所以（a+b）^n的展开式中每一项都是)a^k*b^(n-k)的形式。对于每一个a^k*b^(n-k)，是由k个(a+b)选了a,（a的系数为n个中取k个的组合数（就是那个C右上角一个数，右下角一个数））。（n-k）个(a+b)选了b得到的（b的系数同理）。由此得到二项式定理。
二项式系数之和:
2的n次方

Answer 2

当n=1时，左边＝（a+b)1＝a+b
右边＝C01a+C11b=a+b;左边＝右边
假设当n＝k时，等式成立，即（a+b)n=C0nan＋C1n
a(n-1)b十…十Crn
a(n-r)br十…十Cnn
bn成立;
则当n=k+1时,
（a+b)(n+1)=（a+b)n*(a+b)=[C0nan＋C1n
a(n-1)b十…十Crn
a(n-r)br十…十Cnn
bn]*(a+b)=[C0nan＋C1n
a(n-1)b十…十Crn
a(n-r)br十…十Cnn
bn]*a＋[C0nan＋C1n
a(n-1)b十…十Crn
a(n-r)br十…十Cnn
bn]*b＝[C0na(n+1)＋C1n
anb十…十Crn
a(n-r+1)br十…十Cnn
abn]+[C0nanb＋C1n
a(n-1)b2十…十Crn
a(n-r)b(r+1)十…十Cnn
b(n+1)]＝C0na(n+1)＋(C0n+C1n)anb十…十(C(r-1)n+Crn)
a(n-r+1)br十…十(C(n-1)n+Cnn)abn+Cnn
b(n+1)]＝C0(n+1)a(n+1)+C1(n+1)anb+C2(n+1)a(n-1)b2+…＋Cr(n+1)
a(n-r+1)br+…+C(n+1)(n+1)
b(n+1)
∴当n=k+1时，等式也成立；
所以对于任意正整数，等式都成立