Question

√(x^2+2x)的原函数怎么求，步骤

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Answer 1

作代换x=sh t积分就变成对ch²t的积分积分得到[2t+sh(2t)]/4+C由x=sh t解出t=ln[1+sqrt(1+x²)] sqrt表示开根故积分为{2ln[1+sqrt(1+x²)]+2x²+1}/4+C 用x=tg t的积分过程会很复杂

追问

老师，有没有办法不用双曲函数算出来，我有个疑问。既然复合函数的求导可以总结为“从外到里”，那求这种原函数可不可以理解为“从里到外”呢，我有点迷糊，真心求教，下星期一考高数了，最近在刷题，可是数学基础不太好。

Answer 2

∫√(x-x∧2)dx
=∫√[1/4-(x-1/2)^2]dx
=1/2∫√[1-(2x-1)^2]dx
令2x-1=sint 则 dx=1/2costdt
∫√(x-x∧2)dx
=1/2*1/2∫cos^2tdt
=1/8∫(1+cos2t)dt
=t/8+1/16*sin2t+C
=1/8*arcsin(2x-1)+1/16*2(2x-1)√[1-(2x-1)^2]+C
=1/8*arcsin(2x-1)+1/4*(2x-1)√(x-x^2)+C

Answer 3

解：∵x^2+2ax=(x+a)^2-a^2，设x+a=asect，dx=ad(sect)，
∴原式=2(a^2)∫tantd(sect)=2(a^2)secttant-2(a^2)∫(sect)^3dt。
而，∫(sect)^3dt=(1/2)secttant+(1/2)ln丨sect+tant丨+C1。
∴原式=(a^2)[secttant-ln丨sect+tant丨]+C1=(x+a)(x^2+2ax)^(1/2)-(a^2)ln丨x+a+(x^2+2ax)^(1/2)丨+C。
供参考。