Question

如图，在等腰RT△ABC中，<ACB=90度，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE延长线于F

如图，在等腰RT△ABC中，<ACB=90度，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE延长线于F

1.求证AD⊥CF

2.连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由
求详细解答为什么三角形DBF是等腰直角三角形

Answer 1

（1）证明：因为三角形ACB是等腰直角三角形
所以CA=CB
角ACB=90度
角CAB=角CBA=45度
因为BF平行AC
所以角ACB+角CBF=180度
角CAB=角EBF=45度
所以角CBA=角EBF=45度
角CBF=90度
因为DE垂直AB
所以角DEB=角FEB=90度
因为BE=BE
所以三角形DBE和三角形FBE全等（ADA）
所以BD=BF
因为D是BC的中点
所以CD=BD
所以CD=BF
因为角ACB=角CBF=90度（已证）
CA=CB（已证）
所以三角形ACD和三角形CBF全等（ASA）
所以角CAD=角BCF
因为角ACB=角ACG+角BCF=90度
所以角CAD+角ACG=90度
因为角CAD+角ACG=90度
因为角CAD+角ACG+角AGC=180度
所以角AGC=90度
所以AD垂直CF
(2)三角形ACF是等腰三角形
证明：因为BD=BF（已证）
角CBA=角FBE=45度（已证）
AB=AB
所以三角形ADB和三角形AFB全等（SAS)
所以AD=AF
因为三角形ACD和三角形CBF全等（已证）
所以AD=CF
所以AF=CF
所以三角形ACF是等腰三角形
：因为BD=BF（已证）
所以三角形DBF是等腰三角形
因为角DBF=角CBA+角FBE=45+45=90度
所以三角形DBF是等腰直角三角形

Answer 2

解：（1）证明：∵AC∥BF，∠ACB=90°，
∴∠DBF=90°，
∵∠DBE=45°，
∴∠FBE=45°，
∴∠DBE=∠FBE=45°，
又∵∠DBE=∠FEB=90°，BE=BE，
∴△BDE≌△BFE，
∴BF=BD，
又∴D为BC的中点，
∴CD=BD，
∴CD=BF，
在△ACD和△CBF中，
AC=CN
∠ACD=∠CBD=90°
CD=BF

∴△ACD≌△CBF，
∴∠CAD=∠BCF，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACG+∠BCF=90°，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∴∠AGC=90°，
∴AD⊥CF；
（2）△ACF是等腰三角形；理由如下：在△ADB和△AFB中，
BD=BF
∠ ABD=∠ABF=45°
AB=AB
∴△ADB≌△AFB，
∴AF=AD，
∵△BDE≌△BFE，
∴AD=CF，
∴CF=AF，
∴△ACF是等腰三角形。