Question

已知x1，x2是关于x的一元二次方程x²-2（m+1）+m²+5=0的两个实数根。

1.若（x1-1）（x2-1）=28求m的值
2.已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长。

Answer 1

解：
方程有实根，判别式△≥0
[-2(m+1)]²-4(m²+5)≥0
解得m≥2
1.
由韦达定理得：x₁+x₂=2(m+1)，x₁x₂=m²+5
(x₁-1)(x₂-1)=28
x₁x₂-(x₁+x₂)+1=28
m²+5-2(m+1)+1=28
m²-2m-24=0
(m+4)(m-6)=0
m=-4(舍去)或m=6
m的值为6
2.
若7为底边长，则x₁、x₂为腰长，x₁=x₂
m=2，方程变为x²-6x+9=0
(x-3)²=0
x₁=x₂=3
3+3=6<7，构不成三角形，因此7为腰长
不妨令x₁=7
7+x₂=2(m+1)，x₂=2m-5
7x₂=m²+5，x₂=(m²+5)/7
2m-5=(m²+5)/7
m²-14m+40=0
(m-4)(m-10)=0
m=4或m=10
m=4时，方程变为x²-10x+21=0
(x-3)(x-7)=0
x=3或x=7
m=10时，方程变为x²-22x+105=0
(m-7)(m-15)=0
m=7或m=15
7+7<15，构不成三角形，舍去
综上，得三角形三边长为：7，7，3
三角形周长=7+7+3=17

Answer 2

解：（1）x1+x2=-(-2(m+1))/1=2(m+1)
x1x2=m^2+5
(x1-1)(x2-1)=x1x2-x1-x2+1=x1x2-(x1+x2)+1=m^2+5-2(m+1)+1=m^2-2m+4=28
m^2-2m-24=0
(m-6)(m+4)=0
m-6=0orm+4=0
m1=6,m2=-4
有两个实数根，
4（m+1)^2-4(m^2+5)>=0
(m+1)^2-(m^2+5)>=0
m^2+2m+1-m^2-5>=0
2m-4>=0
m-2>=0
m>=2
6属于[2,+无穷），-4不属于[2,+无穷）（舍）
m=6,
(2)m=6
x^2-14x+41=0
x1+x2=14
因为等腰三角形三条边分别为两条腰和一条底边，
边长为7的这条边可能为腰，也可能为底边这两种情况，因为一共就腰和底边两种角色。
1.7=腰，x1,x2为另一条腰和底边，1.x1为腰，x1=7,x2=14-7=7,