Question

高中数学三角问题

Answer 1

y=sinx+cosx的最大值是当sinx=cosx=√2/2时，sinx+cosx＝√2
y=sinx+cosx的最小值是当sinx=cosx=-√2/2时，sinx+cosx＝-√2
又是连续的
所以值域为[-√2, √2]

假设f(x)=sinx+cosx
y = f(x) / (1+ f(x) )
f(x)=-√2时，y = 2 + √2
-√2<f(x)<-1时，y > 2 + √2
f(x)趋近于-1时，y左右极限值分别为-∞, +∞
-1<f(x)<√2时，y< 2 - √2

所以y的值域为[-∞, 2 - √2] ∪ [2 + √2, +∞]

追问

为什么f(x)=-√2时，y = 2 + √2

追答

-√2 / (1-√2)
=√2 / (√2-1)
=(√2)(√2+1) / (√2-1)(√2+1)
=(2+√2) / 1
=2+√2

Answer 2

解：
整理，得：(1-y)sinx+(1-y)cosx=y
若y=1，则等式变为0=1，等式恒不成立，y≠1
sinx+cosx=y/(1-y)
(√2/2)sinx+(√2/2)cosx=(√2/2)[y/(1-y)]
sin(x+π/4)=√2y/[2(1-y)]
-1≤sin(x+π/4)≤1
-1≤√2y/[2(1-y)]≤1
2y²/[4(y-1)²]≤1
2(y-1)²≥y²
y²-4y+4≥2
(y-2)²≥2
y≤2-√2或y≥2+√2
函数的值域为(-∞，2-√2]U[2+√2，+∞)

Answer 3