Question

大学线性代数，大神帮忙证明一下，希望有细致的步骤（22、23题）

Answer 1

第22题
必要性：
Ax=β
即
A(k1η1+k2η2+...+ksηs)=β
即
k1Aη1+k2Aη2+...+ksAηs=β
也即
k1β+k2β+...+ksβ=β
即
(k1+k2+...+ks-1)β=0
由于β是非零向量，因此k1+k2+...+ks-1=0
即k1+k2+...+ks=1

充分性：
由k1+k2+...+ks=1，得到
(k1+k2+...+ks-1)β=0
即
k1β+k2β+...+ksβ=β
也即

k1Aη1+k2Aη2+...+ksAηs=β
也即
A(k1η1+k2η2+...+ksηs)=β
即
X=k1η1+k2η2+...+ksηs也是方程组Ax=β的解

23题，是线性空间
齐次方程组解出来，得到基础解系（其中有n-1个向量）
解空间中，显然有零向量，且任意解向量的线性组合仍是方程组的解（即仍在解空间中）
因此构成线性空间

追问

大神，21题你是不是不会做

会做的话，帮一下忙，谢谢