Question

请问各位高等数学大神，这道积分求解方程的题目怎么解答？谢谢

Answer 1

如果你确认题目无误，
左边是对 t 积分， x 的函数 τ(x)/x 与 t 无关，可拿到积分号外；
右边 是对 t 积分，x 的函数 ∫<下0, 上x> τ(x)dx 与 t 无关，可拿到积分号外, 则
Ah τ(x)/x = Bh ∫<下0, 上x> τ(x)dx
A τ(x)/x = B ∫<下0, 上x> τ(x)dx
A[τ'(x)-τ(x)]/x^2 = B τ(x)
Aτ'(x) = (1+Bx^2)τ(x)
Adτ(x)/τ(x) = (1+Bx^2)dx
Alnτ(x) = x+Bx^3/3 + lnC
Aτ(x) = Ce^(x+Bx^3/3)
根据问题的初值条件定出积分常数 C。

追问

大神谢谢您的回答，可能是我表述不清，应该是下图。

也就说 x 的函数 τ(x)/x 与 t 有关，x 的函数 ∫<下0, 上x> τ(x)dx  与 t 有关。

请问如何求解，十分感谢！

追答

是否应表示成 : A ∫ τ(t, x)dt/t = B ∫[∫ τ(t,x)dt]dx ？
这样就求不出来了

追问

谢谢您的啊你新回答！！十分感谢！

大神，有点不明白您的意思。有改了下上图式子，就是怎么求解上式。

追答

你每次式子都不同？到底是什么 ？右边怎么会 dxdx ？
是否是 A ∫ τ(x)dx/x = B ∫[∫ τ(t)dt]dx ？

追问

1.每次式子不同，本来以为会让答题人看得明白，没想到反而不明白了。

2.您说“是否是  A ∫<0, h> τ(x)dx/x = B ∫<0, h>[∫<0, x> τ(t)dt]dx  ？”

  不知道h>[∫<0, x> τ(t)dt]dx 这个啥意思？

3.其实，这个待求解式子来自一篇论文（如下）里，怕回答者看不懂才用A、B表示做了简化。大神您不妨看看解法是否正确？谢谢！

追答

右边积分 2 次，最好写成二重积分形式，用不同字母表示二次积分，
就像我写的用一个用 t 表示。 那个 是积分限.

论文第一行给出的式子两边都是反常定积分，（下限 -L 是常数吧）
积分结果应是常数， 两边对 x 求导，怎么会是 x 的函数 ？
要想对 x 求导，积分限必须是 x 的函数才行啊。

追问

谢谢大神的耐心回答。还想麻烦再问问您。

1.确实如您所说是  A ∫<0, h> τ(x)dx/x = B ∫<0, h>[∫<0, x> τ(t)dt]dx ，请问大神此式能否求出τ(x)，能否求解下？谢谢！

2.大神，上面论文里的求解您的意思是求解错的了？还有另一篇论文的接法如下，那大神看看是不是也错了呢？谢谢！

追答