Question

高数第二题求解

Answer 1

这题一点思路也没有。貌似要两边求导。但是看着有点麻烦

Answer 2

解：
本题非常有意思！
分析：显然是要凑形才能积分，因为直接带入非常繁琐，况且也不好求积分！
注意到：y(x-y)²=x，可以写成：(x-y)²=x/y，于是寻求中间变量来求解！
根据题设，令：
x-y=m...................................(1)
x/y=n.....................................(2)
于是：
原等式为：
m²=n......................................(3)
由（1）和（2），可解得：
x=mn/(n-1)
y=m/(n-1)
上述两式带入(3)，则：
于是:
x=m³/(m²-1)
y=m/(m²-1)
因此：

dx=(m^4-3m²)/(m²-1)² dm
1/(x-3y)=(m²-1)/(m³-3m)
∴
∫dx/(x-3y)
=∫(m^4-3m²)(m²-1)/[(m²-1)²(m³-3m)] dm
=∫m/(m²-1)dm
=(1/2)·∫d(m²-1)/(m²-1)
=(1/2)·ln|m²-1|+C
因此：
原积分
=(1/2)·ln|(x-y)²-1|+C