Question

数学导数大题。

Answer 1

解：
继续往下化简做啊，为什么要停下来呢？
1）
根据题意：
f'(x)
={[x/(x+1)]-ln(x+1)-1}/x²
={[(-1)/(x+1)]-ln(x+1)}/x²
=[-1-(x+1)ln(x+1)]/x²(x+1)
∵x>0
∴x+1>0，ln(x+1)>0，即：
1+(x+1)ln(x+1)>0
因此：
f'(x)<0
∴在x>0时，f(x)是单调递减
2）
解法很多，但是求导的方法太繁琐，因为你分多，给你介绍一种全新的解法，用极限求！
∵
lim(x→+∞)f(x)
=lim(x→+∞) [1+ln(x+1)]/x
=0.......................................................这里也可以根据极限定义证明极限为0！
∴
∀ε>0，∃X>0，当x<X时，
|f(x)-f(X)|>ε
又∵f(x)在x>0时是单调递减函数，
∴f(x)-f(X)>0
即：
f(x)>ε+f(X)
又根据极限定义，|f(X)|≤ε成立
∴f(x)>0
而：
f(x)>k/(x+1)恒成立
∴k=0

Answer 2

f(x)=[1+ln(x+1)]/x，

f'(x)=[x/(x+1)-ln(x+1)-1]/x²，

=-[(x+1)ln(x+1)+1]/[x²(x+1)]

(x+1)、ln(x+1)均为单增函数，x=0时，(x+1)ln(x+1)=0，所以x>0时，(x+1)ln(x+1)>0，

即x>0时，f'(x)<0恒成立。

所以x>0时，f(x)为单减函数。

f(x)=[1+ln(x+1)]/x>k/(x+1)恒成立，则有：

(x+1)+(x+1)ln(x+1)>kx，

k<1+1/x+(x+1)ln(x+1)/x，

因为x>0时，1/x+(x+1)ln(x+1)/x>0，

所以k可取值的最小正整数为1。

追答

以上为f(x)的函数图像(红色),及1/(x+1)函数图像(黄色)。

Answer 3

Answer 4

x>0，x/(x+1)-ln(x+1)-1<x/(x+1)-1<0，f(x)单调减

追问

后面呢