Question

遇到含绝对值的函数怎么办

Answer 1

1.（2005年江苏卷）已知a∈R，函数f(x)=x2|x-a|. (I)当a=2时，求使f(x)=x成立的x的集合； (II)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值. 解析：(I)若a=2,则有：22
2(2),2()2(2),2xxxfxx
xxxxìï- ï=-=í
ï--<ïî
, ①当x≥2时，有x2(x-2)=x,解得x=0或x2-2x-1=0,解得：1212,12xx=+=-
，
取112x=+
；②当x<2时，有2
(2),:01xxxxx--===解得或．
综上所述，当a=2时能使f(x)=x成立的x的集合为｛0，1，12+｝
(II)对函数式进行分解得：22
2(),()(),xxaxa
fxx
xaxxaxaìï- ï=-=í
ï--<ïî
①当x≥a时，设f1(x)=x2(x-a),则2
12()32,0,3
afxxaxxx¢=-==
得极值点或 a. 当a<0时,函数f(x)在区间2a2a
,
(0,),(,0)33
骣
÷ç-ト+ ÷ç÷ç桫
递增在区间递减,b.当a>0时, 函数f(x)在区间()
2a2a,0(,),(0,
)3
3
-ト+ 递增在区间递减.
②当x<a时，设f2(x)=-x2
(x-a),则212()32,0,3
afxxaxxx¢=-+==
得极值点或 a.当a<0时,函数f(x)在区间2a2a
,(0,),(,0)33
骣
÷ç-ト+ ÷ç÷ç桫
递减在区间递增,b.当a>0时, 函数f(x)在区间()
2a2a,0(,),(0,
)3
3
-ト+ 递减在区间递增.
由于所求区间为[1,2],故a按所求区间进行讨论: ①若a≤1,则
22,33
a£取f1(x)图象在x>a部分,因函数f1(x)在区间[1,2]部分单调递增,故当x=1
时取最小值,即m=f1(1)=1-a; ②若1<a<2,因f(a)=0,
224
[
,],333
aÎ当x>a时,f1(x)从0单调递增;当x<a时,函数f(x)在区间[1,a]为递减或先增后减至0,故m=f(a)=0; ③若3>a≥2, 则242,33
a>
函数f2(x)在区间为先增后减,当x=
23
a时取最大值,则最小值为
m1=f2(1)=-1+a或m2=f2(2)=-8+4a,下面讨论m1与m2的大小问题: a. 若2≤a<
73
,则m1>m2,最小值为m2=-8+4a;b.若
73
≤a<3,则则m2>m1,最小值为m1=-1+a.