Question

高数大神来看看

Answer 1

解：

本题出的含含糊糊的，因为根据已知，f'(x)是周期函数，但是不能判断f(x)是否是周期函数，因为没有给常数值！因此，(1/4,1/2)的条件不知道是用来干啥的！，以下只求积分！
∫ dx/(sin³x+cos³x)
=∫ dx/[(sinx+cosx)(sin²+cos²-sinxcosx)]
=∫ dx/[(sinx+cosx)(1-sinxcosx)]
根据留数法：
令：
1/[(sinx+cosx)(1-sinxcosx)] = [p/(sinx+cosx)]+[q(sinx+cosx)/(1-sinxcosx)]，其中p,q为常数
求得：

p=q=1/2=0.5
因此：
∫ dx/(sin³x+cos³x)
=0.5∫ dx/(sinx+cosx)+∫ dx(sinx+cosx)/(2-2sinxcosx)
=(0.5/√2)∫ csc(x+π/4)dx +∫ dx(sinx+cosx)/[1+1-2sinxcosx]
=-(0.5/√2)ln|csc(x+π/4)+cot(x+π/4)|+∫ dx(sinx+cosx)/[1+(sinx-cosx)²]
=-(0.5/√2)ln|csc(x+π/4)+cot(x+π/4)|+∫ d(-cosx+sinx)/[1+(sinx-cosx)²]
=-(0.5/√2)ln|csc(x+π/4)+cot(x+π/4)|+∫ d(sinx-cosx)/[1+(sinx-cosx)²]
=-(0.5/√2)ln|csc(x+π/4)-cot(x+π/4)|+ arctan|sinx-cosx|+C