Question

已知直角坐标平面内的点A(-3,1) ,B(1,4),在Y轴上找一个点C,使三角形ABC是直角三角

Answer 1

设C点坐标为（0，y）
若∠A是直角：AB⊥AC
AB的斜率与AC斜率乘积为-1
AB的斜率：（4-1）/【1-（-3）】=3/4
AC的斜率：（y-1）/【0-（-3）】=-4/3
y=-3;C点坐标为（0，-3）
若∠B是直角：AB⊥BC
AB的斜率与BC斜率乘积为-1
AB的斜率：（4-1）/【1-（-3）】=3/4
BC的斜率：（y-4）/（0-1）=-4/3
y=16/3;C点坐标为（0，16/3）
若∠C是直角，AC⊥BC
AC的斜率与BC斜率乘积为-1
AC的斜率：（y-1）/【0-（-3）】=（y-1）/3
BC的斜率：（y-4）/（0-1）=4-y
（4-y）（y-1）/3=-1；
y²-5y+1=0
y=（5±√21）/2;
C点坐标为（0，（5±√21）/2）

Answer 2

A(-3,1) ,B(1,4)
let :C(0,k)
斜率 AC = m1=-(1-k)/3
斜率 BC =m2=(4-k)
斜率 AB =m3= (4-1)/(1+3)= 3/4

case 1 : ∠A =π/2
m1.m3 =-1
[-(1-k)/3] .(3/4) = -1
(1-k)=4
k=-3
C=(0,-3)

case 2 : ∠B =π/2
m2.m3 =-1
(4-k)(3/4)=-1

3(4-k)=-4
k=16/3
C(0,16/3)

case 3 : ∠C =π/2
m1.m2 =-1
[-(1-k)/3](4-k) = -1
(1-k)(4-k) =3
k^2-5k+1=0
k=(5+√21)/2 or (5-√21)/2
C=(0,(5+√21)/2) or (0,(5-√21)/2)
ie
C=(0,-3) or (0,16/3) or (0,(5+√21)/2) or (0,(5-√21)/2)