Question

勾股定理怎么证明

Answer 1

欧几里得证法：

在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设△ABC为一直角三角形，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

在这个定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：

1、如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS）

2、三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。

3、任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。

4、任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。

证明的思路为：从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，把上方的两个正方形，通过等高同底的三角形，以其面积关系，转换成下方两个同等面积的长方形。

设△ABC为一直角三角形，其直角为∠CAB。

其边为BC、AB和CA，依序绘成四方形CBDE、BAGF和ACIH。

画出过点A之BD、CE的平行线，分别垂直BC和DE于K、L。

分别连接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共线，同理可证B、A和H共线。

∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。

因为AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因为A与K和L在同一直线上，所以四边形BDLK=2△ABD。

因为C、A和G在同一直线上，所以正方形BAGF=2△FBC。

因此四边形BDLK=BAGF=AB²。

同理可证，四边形CKLE=ACIH=AC²。

把这两个结果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC

由于BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC

由于CBDE是个正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。

扩展资料：

勾股定理意义：

1、勾股定理的证明是论证几何的发端。

2、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，即它是第一个把几何与代数联系起来的定理。

3、勾股定理导致了无理数的发现，引起第一次数学危机，大大加深了人们对数的理解。

4、勾股定理是历史上第—个给出了完全解答的不定方程，它引出了费马大定理。

5、勾股定理是欧氏几何的基础定理，并有巨大的实用价值．这条定理不仅在几何学中是一颗光彩夺目的明珠，被誉为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他科学领域也有着广泛的应用。

6、1971年5月15日，尼加拉瓜发行了一套题为“改变世界面貌的十个数学公式”邮票，这十个数学公式由著名数学家选出的，勾股定理是其中之首。

Answer 2

教学目标
1.了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算、作图和证明.
2.通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力.
3.对比介绍我国古代和西方数学家关于勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育.
教学重点与难点
重点是勾股定理的应用;难点是勾股定理的证明及应用.
教学过程设计
一、激发兴趣引入课题
通过介绍我国数学家华罗庚的建议--向宇宙发射勾股定理的图形与外星人联系，并说明勾股定理是我国古代数学家于2000年前就发现了的，激发学生对勾股定理的兴趣和自豪感，引入课题.
二、勾股定理的探索，证明过程及命名
1.猜想结论.
勾股定理叙述的内容是什么呢?请同学们也体验一下数学家发现新知识的乐趣.
教师用计算机演示:
(1)在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b和
c，
∠ACB=
90°，使△ABC运动起来，但始终保持∠ACB=90°，如拖动
A点或B点改变a
,b的长度来拖动AB边绕任一点旋转△ACB等.
(2)在以上过程中，始终测算a2，b2，c2，各取以上典型运动的某一两个状态的测算值(约7~8个)列成表格，让学生观察三个数之间有何数量关系，得出猜想.
(3)对比显示锐角三角形、钝角三角形的三边的平方不存在这种关系，因此它是直角三角形所特有的性质.让学生用语言来叙述他的猜想，画图及写出已知、求证.
2.证明猜想.
目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，连美国第20届总统加菲尔德于1881年也提供了一面积证法(见课本第109页图(4))，而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法，下面咱们采纳其中一种(教师制作教具演示，见如图3-151)来进行证明.
3.勾股定理的命名.
我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢?
(1)介绍《周髀算经》中对勾股定理的记载;
(2)介绍西方毕达哥拉斯于公元前582~493时期发现了勾股定理;
(3)对比以上事实对学生进行爱国主义教育，激励他们奋发向上.
三、勾股定理的应用
1.已知直角三角形任两边求第三边.
例
1在
Rt△ABC中，∠C=
90°，∠A，∠B，∠C所对边分别为a，b，c.
(1)a=
6，b=8求c及斜边上的高;(2)a=40，c=41,求
b;(3)b=15
，=25求
a;(4)a:b=3:4,c=15,求b.
说明:对于(1)，让学生总结基本图形(图3-153)中利用面积求斜边上高的基本方法;对于(4)，引导学生利用方程的思想来解决问题.
教师板书(1)，(4)的规范过程，让学生练习(2)，(3).
例2求图3-152所示(单位mm)矩形零件上两孔中心A和B的距离(精确到0.lmm).
教师就如何根据图纸上尺寸寻找直角三角形ABC中的已知条件，出示投影.
练习
1投影显示:
(1)在等腰
Rt△ABC中，
∠C=90°，
AC:BC:AB=__________;
(2)如图
3-
153
∠ACB
=90°，∠A=
30°，则BC:AC:AB=___________;若AB=8,则AC=_____________;又若CD⊥AB，则CD=______________.
(3)等边出△ABC的边长为
a，则高AD=__________，
S
△ABC=______________
说明:
(1)学会利用方程的思想来解决问题.
(2)通过此题让学生总结并熟悉几个基本图形中的常用结论:
①等腰直角三角形三边比为1:1:;
②含30°角的直角三角形三边之比为1::2;
③边长为a的等边三角形的高为a，面积为
(板书)例
3
如图
3-154，
AB=AC=20，
BC=32，△DAC=
90°.求
BD的长.
分析:
(1)分解基本图形，图中有等腰△ABC和
Rt△ADC;
(2)添辅助线--等腰△ABC底边上的高
AE，同时它也是Rt△ADC斜边上的高;
(3)设BD为X.利用图3-153中的基本关系，
通过列方程来解决.教师板书详细过程.
解
作AE⊥BC于E.设BD为x,则DE=16-x,AE2=AC2-EC2.又AD2=DE2+AE2=DC2-AC2，将上式代入，得DE2+AC2-EC2=DC2-AC2，即2AC2=DC2+EC2-DE2.
∴2×202=(32-x)2+162-(16-x)2,解得x=7.
2.利用勾股定理作图.
例4
作长为的线段.
说明:按课本第101页分析作图即可，强调构造直角三角形的方法以及自己规定单位长.
3.利用勾股定理证明.
例5
如图3-155，△ABC中，CD⊥AB于D，AC>BC.
求证:AC2-BC2=AD2-BD2=AB(AD-BD).
分析:
(1)
分解出直角三角形使用勾股定理.
Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2;Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2.
(2)
利用代数中的恒等变形技巧进行整理:
AC2-BC2=(AD2+CD2)-(CD2+BD2)
=AD2-BD2
=(AD+BD)(AD-BD)
=AB(AD-BD).
例6
已知:如图3-156，Rt△ABC,∠ACB=90°,D为BC中点，DE⊥AB于E，求证:AC2=AE2-BE2.
分析:添加辅助线---连结AD，构造出两个新直角三角形，选择与结论有关的勾股定理和表达式进行证明.
4.供选用例题.
(1)
如图3-157，在Rt△ABC中
,∠C=90°，∠A=15°，BC=1.求△ABC的面积.
提示:添加辅助线--BA的中垂线DE交BA于D，交AC于E，连结BE，构造出含30°角的直角三角形BCE，同时利用勾股定理解决，或直接在∠ABC内作∠ABE=15°，交CA边于E.
(2)
如图3-158，△ABC中，∠A=45°，∠B=30°，BC=8.求AC边的长.
分析:添加辅助线--作CD⊥AB于D，构造含45°，30°角的直角三角形列方程解决问题.
(3)如图3-159(a)，在四边形ABCD中，∠B=
∠D=90°，∠C=60°，AD=1，BC=2，求AB，CD.
提示:添加辅助线--延长BA，CD交于E，构造30°角的Rt△EAD,Rt△EBC.利用它们的性质来解决问题(见图3-159(b)).或将四边形ABCD分割成含30°的直角三解形及矩形来解决问题.(见图3-159(c))
答案:AB=23-2，CD=4-3.
(4)已知:3-160(a),矩形ABCD.(四个角是直角)
①P为矩形内一点，求证PA2+
PC2=
PB2+
PD2
②探索P运动到AD边上(图3-160(b))、矩形ABCD外(图3-160(C))时，结论是否仍然成立.
分析:
(1)添加辅助线--过P作EF⊥BC交AD干E，交BC于F.在四个直角三角形中分别
使用勾股定理.
(2)可将三个题归纳成一个命题如下:
矩形所在平面上任一点到不相邻顶点的距离的平方和相等.
四、师生共同回忆小结
1.勾股定理的内容及证明方法.
2.勾股定理的作用:它能把三角形的形的特征(一角为90°)转化为数量关系，即三边满足a2+b2=c2.
3.利用勾股定理进行有关计算和证明时，要注意利用方程的思想求直角三角形有关线段
长;利用添加辅助线的方法构造直角三角形使用勾股定理.
五、作业
1.
课本第106页第2~8题.
2.阅读课本第109页的读一读:勾股定理的证明.
课堂教学设计说明
本教学设计需2课时完成.
1.勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质.本教学设计利用计算机(几何画板软件动态显示)的优越条件，提供足够充分的典型材料--形状大小、位置发生变化的各种直角三角形，让学生观察分析，归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系式，并通过与锐角、钝角三角形的对比，强调直角三角形的这个特有性质，体现了启发学生独立分析问题、发现问题、总结规律的教学方法.
2.
各学校根据自己的教学条件还可以采纳以下类比联想的探索方式来引入新课.
(1)复习三角形三边的关系，总结出规律:较小两边的和大于第三边.
(2)引导学生类比联想:较小两边的平方和与第三边的平方有何大小关系呢?
(3)举出三个事例(见图3-161(a)(b)(
c)).
对比发现锐角、钝角三角形中两较小边的平方和分别大于或小于第三边的平方，直角三角形中较小两边的平方和等于第三边的平方.
(4)用教具演示图3-151，验证对直角三角形所做的猜想.
教学目的:1、会阐述勾股定理的逆定理
2、会应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形
3、能正确、灵活的应用勾股定理及勾股的逆定理
教学重点:勾股定理逆定理的应用
教学难点:勾股定理逆定理的证明
教学方法:讲练结合
教学过程:
一、复习提问
1、
勾股定理的文字语言
2、
勾股定理的几何符号语言
3、
勾股定理的作用
4、
填空:已知一直角三角形的两边是5和12，则第三边的长是
。
二、导入新课
勾股定理是一个命题，任何命题都有逆命题，它的逆命题是什么?
三、讲解新课
勾股定理的逆定理的文字语言:如果三角形的三边长:a、b、c有关系，a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
命题有真假之分，它是否为真命题，首先必须证明。
已知:在ΔABC中，AB=c，BC=a，CA=b，并且a2+b2=c2
求证:∠C=90º
分析:证明一个角为90º，可以证AC⊥BC
也可以利用书本上的方法证明，自学
通过证明，勾股定理的逆命题是个真命题，即勾股定理的逆定理。
勾股定理的逆定理的几何符号语言:在ΔABC中∵
a2+b2=c2
(或c2-a2
=
b2
)
∴∠C=90º(勾股定理的逆定理)
强调:只要满足上述关系，它必定是直角三角形，且较长的边是斜边，它所对的角是直角。
例如:三边长分别为3、4、5，能否组成直角三角形，5、12、13呢?9、40、41呢?
勾股数:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数(或勾股弦数)
书本102-103页，划出定义，完成作业103页1、3
例1
ΔABC的三边分别为下列各组值，能组成直角三角形的打“√”，并指出哪个是直角，否则打“×”
⑴a=1、b=
、c=1
⑵a=1.2、b=1.6、c=2
⑶a:b:c=2:
:2
⑷a=n2-1、b=2n、c=
n2+1(n＞1)
⑸a=2n2+1、b=2n2+2n、c=2mn(m＞n)m、n为正整数
解⑴
∵12+12=(
)2
∴
ΔABC是以∠B为直角的三角形
⑵
∵22-1.62=(2+1.6)(2-1.6)=1.44=(1.2)2
∴
ΔABC是以∠B为直角的三角形
⑶⑷⑸解略。
强调:对于数字较大，可以利用平方差公式，达到简便运算。
例2
已知:如图，AD=3，AB=4，∠BAD=90º，BC=12，CD=13，
求四边形ABCD的面积.
分析:连结BD，求出BD=5，
∵BD2+BC2=CD2
∴∠CBD=90º
∴四边形ABCD的面积=ΔABD的面积+ΔBD的面积
解:略
例2
已知:如图，在ΔABC中，CD是AB边上的高，且CD2=AD2•BD
求证:ΔABC是直角三角形
分析:要证ΔABC是直角三角形
只要证AC2+BC2=AB2
在RtΔACD中，∵∠ACD=90º
∴AC2=AD2+CD2
同理可证，BC2=CD2+BD2
∴AC2
+
BC2
=
AD2+2
CD2+BD2
=(AD+BD)2
∴ΔABC是直角三角形
请学生自己完成证明过程。
三、课堂小结
1、
勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，勾股定理为性质定理，他们互为逆定理
2、
勾股定理的逆定理的作用是用来判定一个三角形是否为直角三角形?

Answer 3

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。
勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。在中国，商朝时期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和

Answer 4

欧几里得证法：
在欧几里得的《几何原本
 》一书中给出勾股定理
 的以下证明。设△ABC为一直角三角形
 ，其中A为直角。从A点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。

Answer 5