Question

已知正实数xy满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值

已知正实数xy满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值
具体答案，3x+y最小值咋求

Answer 1

由xy+2x+3y=42得(x+3)y=42-2x
y为正实数，x+3与42-2x同号
(x+3)(42-2x)≥0
-3≤x≤21，又x为正实数，0<x≤21
x+3>3
y=(42-2x)/(x+3)
xy+5x+4y
=xy+2x+3y+3x+y
=42+3x+ (42-2x)/(x+3)
=3(x+3) + 48/(x+3) +31

由基本不等式得3(x+3)+48/(x+3)≥2√[3(x+3)·48/(x+3)]=24
当且仅当3(x+3)=48/(x+3)时取等号，解得x=1
xy+5x+4y≥24+31=55
xy+5x+4y的最小值是55

寻找函数最大值和最小值

找到全局最大值和最小值是数学优化的目标。如果函数在闭合间隔上是连续的，则通过最值定理存在全局最大值和最小值。此外，全局最大值（或最小值）必须是域内部的局部最大值（或最小值），或者必须位于域的边界上。因此，找到全局最大值（或最小值）的方法是查看内部的所有局部最大值（或最小值），并且还查看边界上的点的最大值（或最小值），并且取最大值或最小）一个。

费马定理可以发现局部极值的微分函数，它表明它们必须发生在临界点。可以通过使用一阶导数测试，二阶导数测试或高阶导数测试来区分临界点是局部最大值还是局部最小值，给出足够的可区分性。

对于分段定义的任何功能，通过分别查找每个零件的最大值（或最小值），然后查看哪一个是最大（或最小），找到最大值（或最小值）。

Answer 2

（x+3）*（y+2）=48
3（x+3）+（y+2）≥2*根号［3（x+3）（y+2）］=24
所以3x+y的最小值是13
答案13+42=55

Answer 3

由xy+2x+3y=42得(x+3)y=42-2x
y为正实数，x+3与42-2x同号
(x+3)(42-2x)≥0
-3≤x≤21，又x为正实数，0<x≤21
x+3>3
y=(42-2x)/(x+3)
xy+5x+4y
=xy+2x+3y+3x+y
=42+3x+ (42-2x)/(x+3)
=3(x+3) + 48/(x+3) +31
由基本不等式得3(x+3)+48/(x+3)≥2√[3(x+3)·48/(x+3)]=24
当且仅当3(x+3)=48/(x+3)时取等号，解得x=1
xy+5x+4y≥24+31=55
xy+5x+4y的最小值是55

Answer 4

待续

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