Question

求微分方程的一条积分曲线，如图

Answer 1

求微分方程 y''+y=e^x的一条积分曲线，使其在点(0，1)与直线y=(1/2)x+1相切。
解：齐次方程y''+y=0的特征方程 r²+1=0的根r₁=-i，r₂=i；故齐次方程的通解为：
y=c₁cosx+c₂sinx............①
设原方程的一个特解y*=ae^x；y*'=ae^x；y*''=ae^x；代入原式得：
ae^x+ae^x=2ae^x=e^x，故a=1/2；即原方程的通解为：
y=c₁cosx+c₂sinx+(1/2)e^x...........②
积分曲线②过(0，1)；故c₁+(1/2)=1，即c₁=1/2；
又y'=-c₁sinx+c₂cosx+(1/2)e^x.........③
已知y'(0)=1/2，代入③式得：c₂+1/2=1/2，故C₂=0；
将c₁，c₂的值代入②式，即得满足要求的积分曲线为：y=(1/2)cosx+(1/2)e^x;

Answer 2

根据弧微分的定义。用参数方程表示～