Question

方程：a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=4,求a,b,c的整数解

Answer 1

a/（b+c）+b/（a+c）+c/（a+b）=4

a/b+a/c+b/a+b/c+c/a+c/b=4

（a/b+c/b）+（a/c+b/c）+（b/a+c/a）=4

（a/b+c/b）+1+（a/c+b/c）+1+（b/a+c/a）+1=1

（a/b+c/b+1)+（a/c+b/c+1)+（b/a+c/a+1)=1

（a/b+c/b+b/b)+（a/c+b/c+c/c)+（b/a+c/a+a/a)=1

（a+b+c）/b+（a+b+c）/c+（a+b+c）/a=1

（a+b+c）/（1/a+1/b+1/c）=1

a+b+c=1/a+1/b+1/c

所以：

a=1/a，解得a=1

b=1/b，解得b=1

c=1/c，解得c=1

所以，a/（b+c）+b/（a+c）+c/（a+b）=4的解为a=1，b=1，c=1

除法的法则：

1、除数是一位数的除法法则整数除法高位起。除数一位看一位。

一位不够看二位，除到哪位商哪位。

余数要比除数小，不够商一零占位。

2、除数是两位数的除法法则整数除法高位起。除数两位看两位。

两位不够看三位，除到哪位商哪位。

余数要比除数小，不够商一零占位。

Answer 2

即(a+b)/b=(b+c-a)/(a+c-b)=(2a+b+2c)/(a+b+c)
同时减去1
a/b=(2b-2a)/(a+c-b)=(a+c)/(a+b+c)
a/b=(a+c)/(a+b+c)
a²+ab+ac=ab+bc
a²+ac=bc
a(a+c)=bc
a/b=c/(a+c)
a/b=(2b-2a)/(a+c-b)
a²+ac-ab=2b²-2ab
a²+ac=2b²-ab
a(a+c)=b(2b-a)
a/b=(2b-a)/(a+c)
所以c/(a+c)=(2b-a)/(a+c)
c=2b-a

追问

a= 1, b= 1 ,c = 1 满足c = 2b - a
代入 得 1/2+1/2+1/2 = 3/2 != 4

Answer 3

a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)=4
答案:
a=
4373612677928697257861252602371390152816537558161613618621437993378423467772036
b=
36875131794129999827197811565225474825492
979968971970996283137471637224634055579
c=
15447680210874616644195131501991983748566
4325669565431700026634898253202035277999

Answer 4

a=4 b=11 c=-1

Answer 5

最简解是5/-9/-11.其余的答案都是在这基础上放大缩小得到的。求解应该给上下限，否则为无穷解。