Question

高数 级数的收敛性

求详细过程

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Answer 1

该级数为交错级数，为此应该使用交错级数收敛判别法(Alternating series test:简称AST).
AST的使用条件为：级数为交错的（b1＋b2－b3＋b4－b5）,绝对值项(b1,b2,b3,...)单调递减到0。
为此只需验证ln (n)/n^p为单调递减的，这可以通过对n求导证明。即
［ln(n)/n^p］'=1/n^(1+p)-pln(n)//n^(1+p)=[1-pln(n)]/[n^(1+p)]
当p>0时，上面的导数当n充分大时，将会为负数，从而条件收敛；
当p<=0时，显然绝对值项发散，从而不收敛。
关于绝对收敛性，应当使用积分判别法（integral test），p<=1时，不是绝对收敛;
p>1时，绝对收敛，因为积分integrate(1,+infinity;lnx/x^(p)dx)有界。