Question

分式函数的单调性应该怎么判断

好像是分离常数法什么的，希望能仔细讲讲。

Answer 1

按照证明函数单调性的五个步骤（取值，作差，变形，判号，定论）进行判断。

定义如下：函数的单调性（monotonicity）也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。

当函数f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）  。在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。

当a>0时，函数af(x)与f(x)有相同的单调性; 当a<0时，函数af(x)与f(x)有相反的单调性；当函数f(x)恒为正（或恒为负）时，f(x)与1/f(x)有相反的单调性。

若f(x)非负，则f(x)与f(x)的算术平方根具有相同的单调性；若f(x)与g(x)的单调性相同，则f(x)+g(x)的单调性与f(x)、g(x)的单调性相同；若f(x)与g(x)的单调性相反，则f(x)-g(x)的单调性与f(x)的单调性相同。

单调性的运用：

1、利用函数单调性求最值

求函数的最大(小)值有多种方法，但基本的方法是通过函数的单调性来判定，特别是对于小可导的连续点，开区问或无穷区问内最大(小)值的分析，一般都用单调性来判定。

2、利用函数单调性解方程

函数单调性是函数一个非常重要的性质，由于单调函数  中x与y是一对应的，这样我们就可把复杂的方程通过适当变形转化为型如“  ”方程，从而利用函数单调性解方程x=a，使问题化繁为简，而构造单调函数是解决问题的关键。

Answer 2

形如y=(ax+b)/(cx+d)的都可以用分离常数法。
先想办法把分子（ax+b） 换成含有（cx+d）的式子，结果为（ax+b）= t（cx+d）+m
这个过程是包含了主要的技巧：（ax+b）尽量往（cx+d）靠拢
1、先化 x 前面的系数，（ax+b）= （a/c）（cx）+ b
2、加一项减一项使得获得（+d），（a/c）（cx）+ b = （a/c）（cx + d - d）+ b
3、把那一项不符合（cx+d）的去掉，
（a/c）（cx + d - d）+ b = （a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b
4、化简（a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b = （a/c）（cx+d）-（ad/c）+b
令 m = （a/c），n = -（ad/c）+b
整个上面的过程就是 ：
（ax+b）= （a/c）（cx）+ b
= （a/c）（cx + d - d）+ b
= （a/c）（cx+d）+（a/c）（-d）+ b
= （a/c）（cx+d）-（ad/c）+b
= m（cx+d ) + n
此处的n就是分离出的常数，m做为系数，只需判断其正负性，即可y=m（cx+d）单调性作出判断。除此之外，形如 y=（ax^2+b）/（cx^2+d）也可以分离常数。