Question

高等数学一 微积分问题

Answer 1

1、(2x^2-1)/(x^4+5x^2+4)
=(2x^2-1)/(x^2+1)(x^2+4)
=3/(x^2+4)-1/(x^2+1)
原式=∫(0,∞) [3/(x^2+4)-1/(x^2+1)]dx
=[(3/2)*arctan(x/2)-arctanx]|(0,∞)
=(3/2)*(π/2)-π/2
=π/4
2、先计算齐次方程y'+2y=0的通解
dy/y=-2dt
ln|y|=-2t+C
y=C*e^(-2t)，其中C是任意常数
利用常数变易法，令u(t)=C，则y=u(t)*e^(-2t)，代入原方程
u'*e^(-2t)-2u*e^(-2t)+2u*e^(-2t)=sint
u'=sint*e^(2t)
u=∫sint*e^(2t)dt
=-∫e^(2t)d(cost)
=-cost*e^(2t)+2∫cost*e^(2t)dt
=-cost*e^(2t)+2∫e^(2t)d(sint)
=-cost*e^(2t)+2sint*e^(2t)-4∫sint*e^(2t)dt
则u=e^(2t)*(2sint-cost)/5+D，其中D是任意常数
y=u*e^(-2t)=(2sint-cost)/5+D*e^(-2t)
因为y(0)=-1/5+D=0，D=1/5
所以原方程的解为y=[2sint-cost+e^(-2t)]/5