Question

高数问题 微分方程

Answer 1

xy'+y=e^x
y'+y/x=e^x/x
按照一阶非齐次微分方程的公式

P(x)=1/x，Q(x)=e^x/x
∫P(x)dx=lnx
y=(1/x)[∫(e^x/x) * x dx +C]
=(1/x) [∫e^x dx +C]
=(e^x +C)/x
lim x→0 (e^x +C)/x
因为分母→0，极限存在，则分子也→0
即e^0+C=0
C=-1
所以y=(e^x -1)/x
即F(x)=(e^x -1)/x
f(x)=F'(x)=(xe^x - e^x +1)/x²
=e^x/x - e^x/x² +1/x²
因为1/x=-1/[1-(x+1)]=-∑(n=0,∞) (x+1)^n
1/x²=(-1/x)'=∑(n=0,∞) n(x+1)^(n-1)
e^x=∑(n=0,∞) x^n/n!
所以f(x)
=∑(n=0,∞) x^(n-1)/n! - ∑(n=0,∞) x^(n-2)/n! +∑(n=0,∞) n(x+1)^(n-1)
n/(n+1)!
=(n+1-1)(n+1)!
=(n+1)/(n+1)!-1/(n+1)!
=1/n!-1/(n+1)!
然后求和的过程中最后得出的结论
∑（n=1,∞）n/(n+1)!
=1/1 -1/2! + 1/2! - 1/3!+……
=1-1/（n+1）!
=1