Question

lim（x趋近于0）[ln(1-x)ln(1+x)-ln(1-x^2)]/x^4=？

Answer 1

答案是1/12。

极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。

名词解释：

“极限”一词源于拉丁文“limitem”，缩写为“lim”。1786年瑞士数学家鲁易理(Lhuillier)首次引入，后人不断完善，发展了长达132年之久，由英国数学家哈代(Haddy)的完善极限符号才成为今天通用的符号。

极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。

与常数a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正数ε可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管ε有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N。

Answer 2

解法1，利用洛比塔法则。
lim（x趋近于0）[ln(1-x)ln(1+x)-ln(1-x^2)]/x^4
=lim（x趋近于0）[ln(1-x)/(1+x)-ln(1+x)/(1-x)+2x/(1-x^2)]/4x^3（分子分母分别求导）
=lim（x趋近于0）[(1-x)ln(1-x)-(1+x)ln(1+x)+2x]/4x^3(1-x^2)（化简）
=lim（x趋近于0）[(1-x)ln(1-x)-(1+x)ln(1+x)+2x]/4x^3（利用极限的乘积公式，再步化简）
=lim（x趋近于0）[-ln(1-x)-ln(1+x)]/12x^2（分子分母再分别求导）
=lim（x趋近于0）[1/(1-x)-1/(1+x)]/24x（分子分母再分别求导）
=lim（x趋近于0）(2x)]/24x(1-x^2)（化简）
=1/12
解法2.利用对数函数的泰勒公式。因为
ln(1-x)=-x-(x^2)/2-(x^3)/3+o(x^3)
ln(1+x)=x-(x^2)/2+(x^3)/3+o(x^3)
ln(1-x^2)=-x^2-(x^4)/2+o(x^4)
于是
ln(1+x)ln(1-x)-ln(1-x^2)
=[x-(x^2)/2+(x^3)/3+o(x^3)]*[-x-(x^2)/2-(x^3)/3+o(x^3)]-[-x^2-(x^4)/2+o(x^4)]
=-x^2-(5x^4)/12+o(x^4)+[x^2+(x^4)/2+o(x^4)]
=[(1/2)-(5/12)]x^4+o(x^4)=(1/12)x^4+o(x^4)
所以
lim（x趋近于0）[ln(1-x)ln(1+x)-ln(1-x^2)]/x^4=1/12

Answer 3

泰勒展开：