Question

大一高数 求特解

大一高数 求特解求这两题的过程

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Answer 1

(1). 解：设y'=p，则y''=p'=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=pdp/dy;
代入原式得：pdp/dy=3√y；分离变量得：pdp=3(√y)dy；取积分(1/2)p²=2√(y³)+(1/2)c₁；
即p²=4√(y³)+c₁；∴p=dy/dx=√[4√(y³)+c₁];代入初始条件得c₁=0; 故dy/dx=2y^(3/4)；
y^(-3/4)dy=2dx；积分之得：4y^(1/4)=2x+c₂；代入初始条件得c₂=0; ∴y=(1/16)x^4.
(2).解：齐次方程 y''-2y'-3y=0的特征方程 r²-2r-3=(r+1)(r-3)=0的根：r₁=-1，r₂=3；
故齐次方程的通解为：y=C₁e^(-x)+C₂e^(3x); 设一个特解为：y*=ax+b；y*'=a；y*''=0；
代入原式得：-3ax-2a-3b=3x+1; ∴-3a=3，即a=-1；-2a-3b=2-3b=1, 3b=1，故b=1/3；
于是特解y*=-x+(1/3)；故通解为：y=C₁e^(-x)+C₂e^(3x)-x+(1/3)；
y'=-C₁e^(-x)+3C₂e^(3x)-1；代入初始条件得 C₁+C₂+(1/3)=0.........①；
-C₁+3C₂-1=0...........②; ①②联立求解得：C₁=-1/2； C₂=1/6；
故特解为：y=-(1/2)e^(-x)+(1/6)e^(3x)-x+(1/3);