Question

题目如图，一道重积分证明题，求解！

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Answer 1

解:
(1)如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°。
∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°。
又∵OA=OB=4，
∴OC= OB= ×4=2，BC=OB?sin60°= 。
∴点B的坐标为(﹣2，﹣ )。
(2)∵抛物线过原点O和点A.B，
∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A(4，0)，B(﹣2，﹣ )代入，得
，解得 。
∴此抛物线的解析式为 。
(3)存在。
如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为(2，y)。
①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=± ，
当y= 时，
在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD= ，
∴∠POD=60°
∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上。
∴y= 不符合题意，舍去。
∴点P的坐标为(2，﹣ )。
②若OB=PB，则42+|y+ |2=42，解得y=﹣ 。
∴点P的坐标为(2，﹣ )。
③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+ |2，解得y=﹣ 。
∴点P的坐标为(2，﹣ )。
综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2，﹣)。