Question

将下列函数展开为x的幂级数

将下列函数展开为x的幂级数f（x）＝x/（x²-2x-3）

Answer 1

解：分享一种解法。∵x²-2x-3=(x+1)(x-3)，
∴f(x)=x/[(x+1)(x-3)]=(1/4)[1/(x+1)+3/(x-3)]=(1/4)[1/(x+1)-1/(1-x/3)]。
又，当丨x丨<1时，1/(x+1)=∑(-x)^n；当丨x/3丨<1时，1/(1-x/3)=∑(x/3)^n。
而，{x丨丨x丨<1}∩{x丨丨x/3丨<1}={x丨丨x丨<1}，
∴f(x)=(1/4)∑[(-1)^n-1/3^n]x^n。其中，丨x丨<1，n=0,1，……，∞。
供参考。