Question

lim(x→0) ln(1+x)/x 求极限，不要用洛必达法则，请写下详细过程，谢谢！

Answer 1

当x->0时，lim(x→0）ln（x+1）->x，所以就很容易得出答案是1，也就是用到了等价无穷小的概念。

0/0未定式求极限可用洛必达法则

当x→0时，lim ln(x+1)/x = lim 1/(x+1) = 1

lim(x→0）ln（x+1）除以x

=lim(x→0）ln（x+1)^(1/x)

=ln lim(x→0)(x+1)^(1/x)

=lne

=1

扩展资料：

一般来说，N随ε的变小而变大，因此常把N写作N(ε)，以强调N对ε的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由ε唯一确定的：（比如若n>N使|xn-a|<ε成立，那么显然n>N+1、n>2N等也使|xn-a|<ε成立）。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。

“当n>N时，均有不等式|xn-a|<ε成立”意味着：所有下标大于N的都落在(a-ε，a+ε)内；而在(a-ε，a+ε)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个（有限个）。换句话说，如果存在某 ε0>0，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-ε0，a+ε0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。

参考资料来源：百度百科-极限

Answer 2

追问

请问步骤中的第三步是怎么得到的？用了哪个定理吗？

追答

对数的运算性质：lna^b=blna

追问

我想问的是再下一步，ln怎么提到外面的？

追答

初等函数求极限时，极限符号和函数符号可以交换，所以把lim与ln交换了

Answer 3

解析：
需要使用“定义法”
坐等高人来回答。

Answer 4

x->0
ln(1+x) ~x
lim(x->0) ln(1+x)/x
=lim(x->0) x/x
=1

追问

为什么ln(x+1)会趋向于x啊，怎么算的

追答

等价无穷小
x->0
ln(1+x) ~x

Answer 5

高数上有答案：lim（x→0）ln（1+x）/x=ln（lim（1+x)^（1/x）=lne=1