大学数学问题求解
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左边 = (1/2)∫<下0, 上x>f(t^2-x^2)d(t^2-x^2) 令 u = t^2-x^2
= (1/2)∫<下-x^2, 上0>f(u)du
则 (1/2)∫<下-x^2, 上0>f(u)du = x^2/(1+x^2) - (1/2)ln(1+x^2)
两边 对 x 求导，得
-(1/2)(-2x)f(-x^2) = 2x/(1+x^2)^2 - x/(1+x^2)
f(-x^2) = 2/(1+x^2)^2 - 1/(1+x^2)
令 v = -x^2, 得 f(v) = 2/(1-v)^2 - 1/(1-v) = (1+v)/(1-v)^2
即 f(x) = (1+x)/(1-x)^2
f'(x) = [(1-x)^2 + (1+x)2(1-x)]/(1-x)^4 = (3+x)/(1-x)^3
驻点 x = -3.
f''(x) = [(1-x)^3 + (3+x)3(1-x)^2]/(1-x)^6 = (10+2x)/(1-x)^4
f''(-3) > 0, x = -3 是极小值点， 极小值 f(-3) = -2/4^2 = -1/8.
= (1/2)∫<下-x^2, 上0>f(u)du
则 (1/2)∫<下-x^2, 上0>f(u)du = x^2/(1+x^2) - (1/2)ln(1+x^2)
两边 对 x 求导，得
-(1/2)(-2x)f(-x^2) = 2x/(1+x^2)^2 - x/(1+x^2)
f(-x^2) = 2/(1+x^2)^2 - 1/(1+x^2)
令 v = -x^2, 得 f(v) = 2/(1-v)^2 - 1/(1-v) = (1+v)/(1-v)^2
即 f(x) = (1+x)/(1-x)^2
f'(x) = [(1-x)^2 + (1+x)2(1-x)]/(1-x)^4 = (3+x)/(1-x)^3
驻点 x = -3.
f''(x) = [(1-x)^3 + (3+x)3(1-x)^2]/(1-x)^6 = (10+2x)/(1-x)^4
f''(-3) > 0, x = -3 是极小值点， 极小值 f(-3) = -2/4^2 = -1/8.
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