Question

用定义判断下列级数的敛散性，对收敛级数，求出其和

Answer 1

解：1小题，∵n²+n-2=(n+2)(n-1)，∴1/(n²+n-2)=1/[(n+2)(n-1)]=(1/3)[1/(n-1)-1/(n+2)]。
∴原式=(1/3)∑[1/(n-1)-1/(n+2)]=(1+1/2+1/3)/3-(1/3)[lim(n→∞)[1/n+1/(n+1)+1/(n+2)]。
显然，[lim(n→∞)[1/n+1/(n+1)+1/(n+2)]=0，∴根据定义，级数收敛，其值为11/18。
2小题，∵原式=∑1/2^n+∑1/3^n，
∴原式=[lim(n→∞)[(1-1/2^n)+(1/2)(1-1/3^n)]=3/2-lim(n→∞)[1/2^n+(1/2)/3^n]。
显然，-lim(n→∞)[1/2^n+(1/2)/3^n]=0，∴根据定义，级数收敛，其值为3/2。
供参考。