Question

平面向量基本定理怎么证明？

Answer 1

平面向量基本定理的内容是：如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。这项定理其实说明了平面向量可以沿任意指定的两方向分解，同时也说明了由任意两向量可以合成指定向量，即向量的合成与分解 。当两个方向相互垂直时，其实就是把他们在直角坐标系中分解，此时（x,y）就称为此向量的坐标。（此向量的起点为原点）所以此定理为向量的坐标表示提供了理论依据。
对于这个定理，“存在”是非常好理解的，可以说是一个公理，而“唯一”可以通过反证法证明：
假设存在 另一对实数 m,n 满足 me1+ye2=a
又 xe1+ye2=a
me1+ye2=xe1+ye2
(m-x)e1=(y-n)e2
因为e1,e2不共线
所以 m-x=0,y-n=0 所以m=x,y=n
与假设矛盾
所以得证