Question

有关线性方程组的解的问题

Answer 1

增广矩阵(A, b) =
[1 1 1 1 0]
[0 1 2 2 1]
[0 -1 a-3 -2 b]
[3 2 1 a -1]
初等行变换为
[1 1 1 1 0]
[0 1 2 2 1]
[0 -1 a-3 -2 b]
[0 -1 -2 a-3 -1]
初等行变换为
[1 0 -1 -1 -1]
[0 1 2 2 1]
[0 0 a-1 0 b+1]
[0 0 0 a-1 0]
a ≠ 1 时，|A| ≠ 0， 方程组有唯一解。
a = 1 ，b ≠ -1 时，r(A) = 2，r(A,b) = 3, 方程组无解。
a = 1 ，b = -1 时，r(A, b) = r(A) = 2 < 4 , 方程组有无穷多解。
此时方程组化为
x1 = -1+x3+x4
x2 = 1-2x3-2x4
取 x3 = x4 = 0， 得特解 (-1, 1, 0, 0)^T;
导出组是
x1 = x3+x4
x2 = -2x3-2x4
取 x3 = 1，x4 = 0， 得 Ax = 0 的基础解系 (1, -2, 1, 0)^T;
取 x3 = 0，x4 = 1， 得 Ax = 0 的基础解系 (1, -2, 0, 1)^T;
此时方程组的通解是
x = (-1, 1, 0, 0)^T + k (1, -2, 1, 0)^T + c (1, -2, 0, 1)^T。