Question

高数 第(3)(5)(6)题，求详解

Answer 1

解：三个小题均用“等价无穷小量”替换求解。
(3)题，∵x→0时，ln(1+x)~x-x²/2、e^x~1+x，∴原式=lim(x→0)[e^xln(1+x)-e]/x=lim(x→0)[e^(1-x/2)-e]/x=elim(x→0)[e^(-x/2)-1]/x=elim(x→0)[(1-x/2)-1]/x=-e/2。
(5)题，∵x→0时，(ai)^x=e^(xlnai)~1+xlnai，∴原式=lim(x→0)[1+(x/n)∑lnai]^(n/x)=e^(∑lnai)=a1*a2*……*an。
(6)题，∵1/n→0，tan(1/n)~(1/n)+(1/3)/n³，∴原式=lim(n→∞)[1+(1/3)/n²)]^n²=e^(1/3)。
供参考。

追问

上课时，老师只简单的给出 x→0，tan(x)~x , ln(x+1)~x, 我想问的是，除了你给出的这种等价关系，是不是根据题目不同，还会有其他不同的等价关系。还是以后遇到ln(x+1),tan(x),直接用你给的等价无穷小关系

Answer 2

解：（1） f(x)=m·e的x次方-lnx
f＇(x)=m·e的x次方-1/x
∵ 其极值点就是导数为零的点
∴ f＇(x)=m·e的x次方-1/x=0
f＇(1)=m·e -1 =0
∴ m=1/e
∴ f(x)=1/e·e的x次方-lnx=·e的x-1次方-lnx
f(x)= e的x-1次方-lnx
∴ 当x＞1 f＇(x)＞0 函数为增函数。
当0＜x＜1 f＇(x)＜0 函数为减函数。
当 x＜0 f＇(x)＜0 函数为减函数。
其中0为间断点。

（2） f(x)=m·e的x次方-lnx
当 m≥1/e2 时 ∵ f(x)=m·e的x次方-lnx
∴ m·e的x次方-lnx ≥1/e2 ·e的x次方-lnx
∴ f(x)≥1/e2 ·e的x次方-lnx =e的x-2次方-lnx
f(x)≥e的x-2次方-lnx
从图像 看 f(x)=e的x-2次方
f(x)=lnx
以上两个图像永远不相交，并且f(x)=e的x-2次方永远在 f(x)=lnx的上方。
∴ e的x-2次方-lnx ＞0 ∴ f(x)＞0

Answer 3

rrrrrrrrr

追答

第五题看不清楚