Question

将函数展开成x的幂级数

第二题

Answer 1

定理：设函数 在点X0的某一邻域内只有各阶导数，则在该邻域内能展开成Taylor级数的充分条件是的Taylor公式中的余项的极限为零。 3. 4.小结：幂级数是函数项级数中最基本的一类。它的特点是在其收敛区间绝对收敛，且幂级数在收敛区间内可逐项微分和积分。由此第一次得到了一种函数的无限形式的表达式（即幂级数展开式），将函数展为幂级数无论在理论研究方面还是在应用方面都有着重大的意义。一个函数的幂级数展开式只依赖函数在展开点出的各阶导数，这是Taylor级数的优点。但从另一方面看，这又是它的缺点，因为求任意阶导数并不容易，而且许多函数难以满足这样强的条件。还应看到，若想取级数的前项和作为函数的近似值，则在离开展开点稍远一点的地方，取非常大才能使误差在所要求的限度内。