Question

请问大神待定系数法求二阶线性常数齐次微分方程特解的具体步骤是什么?

Answer 1

二阶线性常数齐次微分方程，其实一般叫二阶常系数线性齐次微分方程。它的一般形式为ay''+by'+cy=0.只要求出其两个线性无关解，就能得到它的通解。不过，注意到此方程（ay''+by'+cy=0）我们可以寻求具有形式y=e^(rx)（r为待定常熟）的解，并消去e^(rx),得到ar^2+br+c=0,由此可知，如果选择常数r为方程ar^2+br+c=0的一个跟，则y=e^（rx），就是微分方程ay''+by'+cy=0的一个解。同时，我们把ar^2+br+c=0，叫做ay''+by'+cy=0的特征方程。由二元一次方程求根得到r=(-b+/-根号下b^2-4ac)/2a.根据▲=b^2-4ac的符号来判别。
当▲大于0时，此时特征方程有两个相异的实根r1,r2故y1=e^(r1x),y2=e^(r2x)是方程ay''+by'+cy=0的两个线性无关的解，因此方程ay''+by'+cy=0的通解为y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)
当▲等于0时，特征方程与两个相等的实根，即r1=r2，故y1=e^(r1x)是方程ay''+by'+cy=0的一个解，再用刘维尔公式得到另一个与y1线性无关的解，y2=xe^(r1x).因此，方程ay''+by'+cy=0的通解为y=C1e^(r1x)+C2xe^(r1x)
当▲小于0时，此时特征方程有一对共轭复根r1,2=a+/-ib(b不为0).利用欧拉公式e^(ibx)=cosbx+isinbx.得到方程y=e^(a+bx)=(e^ax)cosbx+(ie^ax)sinbx.令y1=e^axcosbx,y2=e^axsinbx,把上述复数解y=y1+/-iy2代入方程ay''+by'+cy=0中得（ay1''+by1'+cy1）+/-（ay2''+by2'+cy2）=0，上面两个实虚部都为0因此y1=e^axcosbx,y2=e^axsinbx是方程ay''+by'+cy=0的两个实数解，并且它们是线性无关的，所以方程ay''+by'+cy=0通解为y=e^ax(C1cosbx+C2sinbx)
举个例题，求解2y''+y'=0.此题中特征方程为2r^2+r=0,解的特征根r1=0,r2=-1/2,所以y1=e^0x=1，y2=e^(-x/2),两解线性无关，所以。方程的通解为y=C1+C2e^(-x/2)
这就是待定系数法求二阶常系数线性齐次微分方程，望采纳，谢谢。

追问

那y''+py'+qy=f(x)的通解怎么求?

追答

这就是非齐次方程的求解了，有P(x)e^ax型和e^ax(P1(X)cos bx+P2(X)sinbx)型