Question

求f(x)的最大值与最小值

已知函数f(x)=4ˣ⁺¹-3×16ˣ+1的定义域与g(x)=√(x-1)+√(2x-x²)的定义域相同，求f(x)的最大值与最小值。

Answer 1

因为g(x)=√(x-1)+√(2x-x²)
所以可求得g(x)的定义域为[1，2]
(f(x)定义域求得)
f(x)=4^(x+1)-3×16^x+1
=4^x×4 - 4^2x×3 +1
(为求整理过程简洁，可设4^x=t，则t∈[4，16])
=-3t²+4t+1
=-3(t-2/3)²+7/3
所以f(x)min=f(x)|t=16=-703
f(x)max=f(x)|t=4=-31

Answer 2

g(x)的定义域为[1,2],
令4^x=t,则t属于【4,16】，
f(t)=-3*t^2+4t-3=-3(t-2/3)^2-5/3,
则f(t)在【4,16】单调递减，
f(t)min=-707,f(t)max=-35