Question

三重积分的计算，用球面坐标系。麻烦写详细些。。谢谢

∫∫∫z²dxdydz，其中Ω是由两个球面x²+
Ω
y²＋z²≤r²和x²+y²+z²≤2rz（r>0）的公共部分。

Answer 1

对不起，球坐标不

合适，改用先二后一

Answer 2

题目有误，x²+Ωy²＋z² ≤ r² 应为 x²+y²＋z² ≤ r²， 化为球坐标即 ρ ≤ r;
x²+y²+z² ≤ 2rz 化为球坐标即 ρ ≤ 2rcosφ.
联立解 ρ = r， ρ = 2rcosφ，得 cosφ = 1/2， φ = π/3,
I = ∫∫∫z²dxdydz
= ∫<0, π/3>dφ∫<0, 2π>dθ∫<0, r> (ρcosφ)^2 ρ^2sinφdρ
+ ∫<π/3，π/2>dφ∫<0, 2π>dθ∫<0, 2rcosφ> (ρcosφ)^2 ρ^2sinφdρ
= 2π∫<0, π/3>sinφ(cosφ)^2dφ[ρ^5/5]<0, r>
+ 2π∫<π/3，π/2>sinφ(cosφ)^2dφ[ρ^5/5]<0, 2rcosφ>
= (2πr^5/5)∫<0, π/3>sinφ(cosφ)^2dφ
+ (64πr^5/5)∫<π/3，π/2>sinφ(cosφ)^7dφ
= (2πr^5/5)[(-1/3)(cosφ)^3]<0, π/3>
+ (64πr^5/5)[(-1/8)(cosφ)^8]<π/3，π/2>
= (7/20)πr^5 + (1/160)πr^5 = (57/160)πr^5

Answer 3

用切片法的话就先取横截面
x² + y² + z² = R² 和 x² + y² + z² = 2Rz 的交点是
R² = 2Rz
即z = R/2
所以以平面z = R/2将两个球分开
分别是Ω1和Ω2
设Ω1：x² + y² + z² ≤ R²,z ≥ R/2,上面的球体
设Ω2：x² + y² + z² ≤ 2Rz,z ≤ R/2,下面的球体
对于Ω1,横截面Dz1：x² + y² ≤ R² - z²、R/2 ≤ z ≤ R
对于Ω2,横截面Dz2：x² + y² ≤ 2Rz - z²、0 ≤ z ≤ R/2
因此
∫∫∫Ω z² dxdydz
= ∫∫∫Ω1 + ∫∫∫Ω2
= ∫(R/2→R) z² ∫∫Dz1 dxdydz + ∫(0→R/2) z² ∫∫Dz2 dxdydz
= ∫(R/2→R) z² * π(R² - z²) dz + ∫(0→R/2) z² * π(2Rz - z²) dz
= π∫(R/2→R) (R²z² - z⁴) dz + π∫(0→R/2) (2Rz³ - z⁴) dz
= π[R²z³/3 - z⁵/5]：(R/2→R) + π[Rz⁴/2 - z⁵/5]：(0→R/2)
= π[R⁵/3 - R⁵/5] - π[R⁵/24 - R⁵/160] + π[R⁵/32 - R⁵/160]
= (47/480)πR⁵ + (1/40)πR⁵
= (59/480)πR⁵