Question

线性代数关于线性相关性与可逆证明题

设A是n阶方阵，列向量组α1，α2...αn线性无关，证明：列向量组Aα1，Aα2...Aαn线性无关的充要条件是A为可逆矩阵。
由A可逆推向量组无关我已经推出来了，但是由向量组无关推A可逆没推出来。如何求证？

Answer 1

望采纳，谢谢😜
ps：这种题目都会运用矩阵的秩的性质，证明的时候可以多往这个方向想。

Answer 2

运用矩阵的秩及线性无关组的运算证明如下:
必要性的证明:向量组Aα1、Aα2、...、Aαn线性无关–>齐次线性方程组k1Aα1+k2Aα2+...+knAαn=0只有零解–>系数矩阵的秩r(Aα1、Aα2、...、Aαn)=n –>r(A)>=r(A(α1，α2，...，αn))=n,而r(A)<=n(n阶方阵)–>r(A)=n–>方阵A可逆。

Answer 3

作为二战上岸的学长对你说，有这时间在软件上面码字不如谦虚一点问问周围的同学，效率肯定比这在网上问得好，及时问到了，也不见得解释的明白。