证明下列不等式？
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本题利用导函数来证明。详见下图，希望对你有帮助。
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因x>1，所以该式可写作(x+1)In(x+1)>xInx。
设f(x)=xInx，x>1，则f‘(x)=Inx+1>0，
所以f(x)在定义域内是增函数，所以f(x+1)>f(x)，即(x+1)In(x+1)>xInx。
设f(x)=xInx，x>1，则f‘(x)=Inx+1>0，
所以f(x)在定义域内是增函数，所以f(x+1)>f(x)，即(x+1)In(x+1)>xInx。
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记f(x)=x+1/3·x^3-tanx,
则f'(x)=1+x^2-(secx)^2=x^2-(tanx)^2<0. (0<x<pi/2).
即f(x)在(0,pi/2)减. 又f(0)=0且f(x)在x=0连续, 所以f(x)<0 (0<x<pi/2),
即tanx>x+1/3·x^3.
则f'(x)=1+x^2-(secx)^2=x^2-(tanx)^2<0. (0<x<pi/2).
即f(x)在(0,pi/2)减. 又f(0)=0且f(x)在x=0连续, 所以f(x)<0 (0<x<pi/2),
即tanx>x+1/3·x^3.
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