Question

高中奥数题

设Sn表示自然数集合｛1，2，……，n｝的一切子集之和（规定空集元素和为0）求S2004。

设｛An｝是集合｛2的x次+2的t次｜0≤s<t，且s，t属于整数｝中所有的数从小到大排成的数列，求A5和A50.

请附上详细解答，谢谢

Answer 1

1
容易得知,所有的数被加到的概率是相同的,都是1/n.
这些数的和是(n+1)n/2,则他们的平均数是(n+1)/2.
这就转化成了有多少个(n+1)/2相加的问题.
也就是说平均每个子集的和是(n+1)/2.
而集合｛1，2，……，n｝的一切子集个数为2^n,
那么就有2^n个(n+1)/2相加.
∴Sn=[(n+1)/2]×2^n=(n+1)×2^(n-1).
∴S2004=(2004+1)×2^(2004-1)=2005×2^2003.

2
由指数函数性质知,若0≤s<t，则2^s+2^t<2^s+2^(t+1)<2^(s+1)+2^(t+1).
则s,t组合依次应当是0,1; 0,2; 1,2; 1,3; 2,3; 2,4; 3,4 ...
令p=2^{[1+(-1)^n]/2};则当n为奇数时,p=1;当n为偶数时,p=2.
容易看出,第n个组合的s=(n-p)/2;t=s+p.
由此可以看出,对于{A5},有s=(5-1)/2=2;t=2+1=3.则A5=2^2+2^3=12;
对于{A50},有s=(50-2)/2=24;t=24+2=26.则A50=2^24+2^26=2^24×(1+2^2)=5×2^24.

注:a^b 就是a的b次方