Question

设二维随机变量(X,Y)联合概率密度密度如图，求E(X) E(Y) E(XY)。

Answer 1

①先求出X、Y的边缘分布密度函数。根据定义，X的边缘分布密度函数fX(x)=∫(0,2)f(x,y)dy=2x。同理，Y的边缘分布密度函数fY(y)=∫(0,1)f(x,y)dx=y/2。

②求期望值。按照定义，E(X)=∫(0,1)xfX(x)dx=∫(0,1)2x²dx=2/3。同理，E(Y)=∫(0,2)yfY(y)dy=∫(0,2)y²dy/2=4/3。E(XY)=∫∫Df(x,y)xydxdy=∫(0,1)x²dx∫(0,2)y²dy=8/9，

∴E(XY+1)=E(XY)+1=8/9+1=17/9。

含义

则X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度。

单纯的讲概率密度没有实际的意义，它必须有确定的有界区间为前提。可以把概率密度看成是纵坐标，区间看成是横坐标，概率密度对区间的积分就是面积，而这个面积就是事件在这个区间发生的概率，所有面积的和为1。所以单独分析一个点的概率密度是没有任何意义的，它必须要有区间作为参考和对比。

Answer 2

详细过程是，①先求出X、Y的边缘分布密度函数。根据定义，X的边缘分布密度函数fX(x)=∫(0,2)f(x,y)dy=2x。同理，Y的边缘分布密度函数fY(y)=∫(0,1)f(x,y)dx=y/2。
②求期望值。按照定义，E(X)=∫(0,1)xfX(x)dx=∫(0,1)2x²dx=2/3。同理，E(Y)=∫(0,2)yfY(y)dy=∫(0,2)y²dy/2=4/3。E(XY)=∫∫Df(x,y)xydxdy=∫(0,1)x²dx∫(0,2)y²dy=8/9，
∴E(XY+1)=E(XY)+1=8/9+1=17/9。
供参考。