Question

已知函数f(x)=4x^2-kx-8在[5,20]上具有单调性，求实数k的取值范围

中职上去的大专仔想插本，自学高数从高中必修1开始。。大佬能不能详细解释下！！我画了个草图还是不懂为什么对称轴X要<=5或>=20啊

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Answer 1

二次函数要在给定区间内单调，只要对称轴不在区间里面就可以了

追问

答案里，不是有个等于“=”符号的么？这个图？好像没等于吧？为什么求的是区间外面而不是里面

追答

对称轴刚好在区间端点也是满足条件的，区间端点（有定义）对于单调性没有影响

对称轴在区间外面，意味着区间内一定会单调

追问

好的 谢谢老师

Answer 2

因为二次函数的单调区间，由开口方向与对称轴来确定，
这个是开口向上，对称轴为直线x=K/8，
所以f(X)在(—∞，K/8)单减，在(K/8，十∞)单增，
因为在[5，20]上单调，则它是上述单调区间的子区间，
故K/8≤5或K/8≥20才满足题意。
则K≤40或K≥160。

追问

那个区间不是f(x)来的么，为什么对称轴X要=20，能不能画个大概的草图可以让我了解一下

Answer 3

f(x)是抛物线，开口向上，对称轴x=k/8，左侧单调递减，右侧单调递增。
∵[5，20]上单调
∴20≤K/8或k/8≤5
∴K≥160或K≤40

追问

我知道左侧递减，右侧递增，就是理解不了为什么对称轴X=20,所以麻烦您画个草图好理解下。。

Answer 4

该二次函数开口向上，对称轴为直线x=k/8
[5,20]上具有单调性就是【5，20】上要么递增要么递减
根据二次函数图像的特点，对称轴不可能在【5,20】里面，但可以是x=5,也可以是x=20
所以是k/8<=5或k/8>=20
k<=40或k>=160

Answer 5

函数f(x)=4x2-kx-8的对称轴是x=k/8故只要：5大于k/8或20小于k/8就可