Question

已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R,m＜0.

(1)求m与n的关系式
(2)求f(x)单调区间
(3)当x∈[-1,1]时，函数y=f(x)的图像上任意一点的其热线斜率恒大于3m，求m的取值范围

Answer 1

(1)f'=3mx^2-6(m+1)x+n f''=6mx-6(m+1)
f'(1)=3m-6(m+1)+n=-3m-6+n=0 n=6+3m
(2)f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+3m+6=3(x-1)[mx-(m+2)]
极值点x(a)=1 x(b)=(m+2)/m=1+2/m
因为m＜0 x(b)<1
f''（1）=-6<0 极大值
f''(1+2/m)=6>0 极小值
单调减区间为（负无穷，1+2/m）和（1，正无穷）
单调增区间为[1+2/m,1]
(3)f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+3m+6=3(x-1)[mx-(m+2)]的单调增区间为....，单调减区间为.....
分情况讨论，区间我就不求了，剩下的都应该很简单了

Answer 2

解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2-6（m+1）x+n．
因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m-6（m+1）+n=0．
所以n=3m+6．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+2 m ）]
当m＜0时，有1＞1+2 m ，当m＜0时，f（x）在（-∞，1+2 m ）单调递减，在（1+2 m ，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．
（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x-1）[x-（1+2 m ）]＞3m，
∵m＜0．∴（x-1）[x-1（1+2 m ）]＜1．（*）
10x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．
∴m＜0．
20x≠1时∵x∈[-1，1]，∴-2≤x-1＜0．
（*）式化为2 m ＜（x-1）-1 x-1 ．
令t=x-1，则t∈[-2，0），记g（t）=t-1 t ，
则g（t）在区间[-2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（-2）=-2-1 -2 =-3 2 ．
由（*）式恒成立，必有2 m ＜-3 2 ⇒-4 3 ＜m，又m＜0．∴-4 3 ＜m＜0．
综上10、20知-4 3 ＜m＜0．